소수란 1보다 큰 자연수 중에서 1과 자기 자신을 제외한 자연수로는 나누어떨어지지 않는 자연수이다
6은 1, 2, 3, 6으로 나누어떨어지므로 소수가 아니다
7은 1과 7을 제외하고는 나누어떨어지지 않으므로 소수이다
코딩 테스트에서는 어떠한 자연수가 소수인지 아닌지 판별해야 하는 문제가 자주 출제된다
#소수 판별 함수(2이상의 자연수에 대하여)
def is_prime_number(x):
# 2부터 (x-1)까지의 모든 수를 확인하며
for i in range(2,x):
#x가 해당 수로 나누어떨어진다면
if x%i == 0:
return False #소수가 아님
return True
print(is_prime_number(4))
print(is_prime_number(7))
실행 결과
False
True
소수의 판별: 기본적인 알고리즘 성능 분석
2부터 𝑋-1까지의 모든 자연수에 대하여 연산을 수행해야 한다
모든 수를 하나씩 확인한다는 점에서 시간 복잡도는O(X)이다
약수의 성질
모든 약수가 가운데 약수를 기준으로 곱셈 연산에 대해 대칭을 이루는 것을 알 수 있다
예를 들어 16의 약수는 1, 2, 4, 8, 16이다
이때 2 X 8 = 16은 8 X 2 = 16과 대칭이다
따라서 우리는 특정한 자연수의 모든 약수를 찾을 때 가운데 약수(제곱근)까지만 확인하면 된다
예를 들어 16이 2로 나누어떨어진다는 것은 8로도 나누어떨어진다는 것을 의미한다
소수의 판별: 개선된 알고리즘 (Python)
import math
def is_prime_number(x):
#2부터 x의 제곱근까지의 모든 수를 확인하며
for i in range(2, int(math.sqrt(x))+1):
#x가 해당 수로 나누어 떨어진다면
if x%i == 0:
return False #소수가 아님
return True #소수임
print(is_prime_number(4))
print(is_prime_number(7))
소수의 판별: 개선된 알고리즘 성능 분석
2부터 𝑋의 제곱근(소수점 이하 무시)까지의 모든 자연수에 대하여 연산을 수행해야 한다
시간 복잡도는
이다
다수의 소수 판별
하나의 수에 대해서 소수인지 아닌지 판별하는 방법을 알아보았다
하지만 특정한 수의 범위 안에 존재하는 모든 소수를 찾아야 할 때는 어떻게 할까?
에라토스테네스의 체 알고리즘을 사용할 수 있다
에라토스테네스의 체 알고리즘
다수의 자연수에 대하여 소수 여부를 판별할 때 사용하는 대표적인 알고리즘이다
에라토스테네스의 체는 N보다 작거나 같은 모든 소수를 찾을 때 사용할 수 있다
에라토스테네스의 체 알고리즘의구체적인 동작 과정은 다음과 같다
2부터 𝑁까지의 모든 자연수를 나열한다
남은 수 중에서 아직 처리하지 않은 가장 작은 수 𝑖를 찾는다
남은 수 중에서 i의 배수를 모두 제거한다(𝑖는 제거하지 않는다)
더 이상 반복할 수 없을 때까지 2번과 3번의 과정을 반복한다
에라토스테네스의 체 알고리즘 동작 예시
[초기 단계]2부터 26까지의 모든 자연수를 나열한다 (𝑁 = 26)
[Step 1]아직 처리하지 않은 가장 작은 수 2를 제외한 2의 배수는 모두 제거한다
[Step 2]아직 처리하지 않은 가장 작은 수 3을 제외한 3의 배수는 모두 제거한다
[Step 3]아직 처리하지 않은 가장 작은 수 5를 제외한 5의 배수는 모두 제거한다
[Step 4]마찬가지의 과정을 반복했을 때 최종적인 결과는 다음과 같다
에라토스테네스의 체 알고리즘 (Python)
import math
n = 1000 #2부터 1000까지의 모든 수에 대하여 소수 판별
array = [True for i in range(n+1)]
#에라토스테네스의 체 알고리즘
for i in range(2, int(math.sqrt(n))+1) #2부터 n의 제곱근까지의 모든 수를 확인하며
if array [i] == True:#i가 소수인 경우(남은 수인 경우)
#i를 제외한 i의 모든 배수를 지우기
j = 2
while i*j <=n:
array[i*j] = False
j+=1
#모든 소수 출력
for i in range(2, n+1):
if array[i]:
print(i, end = " ")
에라토스테네스의 체 알고리즘 성능 분석
에라토스테네스의 체 알고리즘의 시간 복잡도는 사실상 선형 시간에 가까울 정도로 매우 빠르다
시간 복잡도는O(NloglogN)이다
에라토스테네스의 체 알고리즘은 다수의 소수를 찾아야 하는 문제에서 효과적으로 사용될 수 있다
하지만 각 자연수에 대한 소수 여부를 저장해야 하므로 메모리가 많이 필요하다
10억이 소수인지 아닌지 판별해야 할 때 에라토스테네스의 체를 사용할 수 있을까?
투 포인터 (Two Pointers)
투 포인터 알고리즘은 리스트에 순차적으로 접근해야 할 때 두 개의 점의 위치를 기록하면서 처리하는 알고리즘을 의미한다
흔히 2, 3, 4, 5, 6, 7번 학생을 지목해야 할 때 간단히 '2번부터 7번까지의 학생'이라고 부르곤 한다
리스트에 담긴 데이터에 순차적으로 접근해야 할 때는시작점과끝점2개의 점으로 접근할 데이터의 범위를 표현할 수 있다
특정한 합을 가지는 부분 연속 수열 찾기: 문제 설명
N개의 자연수로 구성된 수열이 있다
합이 M인 부분 연속 수열의 개수를 구하라
수행 시간 제한은O(N)이다
특정한 합을 가지는 부분 연속 수열 찾기: 문제 해결 아이디어
투 포인터를 활용하여 다음과 같은알고리즘으로 문제를 해결할 수 있다
시작점(start)과 끝점(end)이 첫 번째 원소의 인덱스(0)를 가리키도록 한다
현재 부분 합이 M과 같다면, 카운트한다
현재 부분 합이 M보다 작다면, end를 1 증가시킨다
현재 부분 합이 M보다 크거나 같다면, start를 1 증가시킨다
모든 경우를 확인할 때까지 2번부터 4번까지의 과정을 반복한다
𝑀 = 5
[초기 단계]시작점과 끝점이 첫 번째 원소의 인덱스를 가리키도록 한다
현재의 부분합은 1이므로 무시한다
현재 카운트:0
[Step 1]이전 단계에서의 부분합이 1이었기 때문에 end를 1 증가시킨다
현재의 부분합은 3이므로 무시한다
현재 카운트:0
[Step 2]이전 단계에서의 부분합이 3이었기 때문에 end를 1 증가시킨다
현재의 부분합은 6이므로 무시한다
현재 카운트:0
[Step 3]이전 단계에서의 부분합이 6이었기 때문에 start를 1 증가시킨다
현재의 부분합은 5이므로 카운트를 증가시킨다
현재 카운트:1
[Step 4]이전 단계에서의 부분합이 5이었기 때문에 start를 1 증가시킨다
현재의 부분합은 3이므로 무시한다
현재 카운트:1
[Step 5]이전 단계에서의 부분합이 3이었기 때문에 end를 1 증가시킨다
현재의 부분합은 5이므로 카운트를 증가시킨다
현재 카운트:2
[Step 6]이전 단계에서의 부분합이 5이었기 때문에 start를 1 증가시킨다
현재의 부분합은 2이므로 무시한다
현재 카운트:2
[Step 7]이전 단계에서의 부분합이 2였기 때문에 end를 1 증가시킨다
현재의 부분합은 7이므로 무시한다
현재 카운트:2
[Step 8]이전 단계에서의 부분합이 7이었기 때문에 start를 1 증가시킨다
현재의 부분합은 5이므로 카운트를 증가시킨다
현재 카운트:3
특정한 합을 가지는 부분 연속 수열 찾기: 코드 예시 (Python)
n = 5 #데이터의 개수 N
m = 5 #찾고자 하는 부분합 M
data = [1,2,3,2,5]
count = 0
interval_sum =0
end =0
#start를 차례대로 증가시키며
for start in range(n):
#end를 가능한 만큼 이동시키기
while interval_sum < m and end<n:
interval_sum += data[end]
end+=1
#부분합이 m일 때는 카운트 증가
if interval_sum == m:
count+=1
interval_sum -= data[start]
print(count)
구간 합 (Interval Sum)
구간 합 문제:연속적으로 나열된 N개의 수가 있을 떄 특정 구간의 모든 수를 합한 값을 계산하는 문제
예를 들어 5개의 데이터로 구성된 수열 {10, 20, 30, 40, 50}이 있다고 가정하자
두 번째 수부터 네 번째 수까지의 합은 20 + 30 + 40 = 90이다
구간 합 빠르게 게산하기: 문제 설명
𝑁개의 정수로 구성된 수열이 있다
𝑀개의 쿼리(Query)정보가 주어진다
각 쿼리는 𝐿𝑒𝑓𝑡와 𝑅𝑖𝑔ℎ𝑡으로 구성된다
각 쿼리에 대하여 [𝐿𝑒𝑓𝑡,𝑅𝑖𝑔ℎ𝑡] 구간에 포함된 데이터들의 합을 출력해야 한다
수행 시간 제한은O(N + M)이다
구간 합 빠르게 게산하기: 문제 해결 아이디어
접두사 합(Prefix Sum): 배열의 맨 앞부터 특정 위치까지의 합을 미리 구해 놓은 것
접두사 합을 활용한 알고리즘은 다음과 같다
𝑁개의 수 위치 각각에 대하여 접두사 합을 계산하여 𝑃에 저장한다
매 𝑀개의 쿼리 정보를 확인할 때 구간 합은 𝑃[𝑅𝑖𝑔ℎ𝑡] - 𝑃[𝐿𝑒𝑓𝑡 - 1]이다
구간 합 빠르게 게산하기: 코드 예시 (Python)
#데이터의 개수 N과 전체 데이터 선언
n=5
data = [10, 20, 30, 40, 50]
#접두사 합 배열 계산
sum_value = 0
prefix_sum = [0]
for i in data:
sum_value +=i
prefex_sum.append(sum_value)
left = 3
right = 4
print(prefix_sum[right] - prefix_sum[left-1])
