[이코테]10장_그래프이론(2)신장트리, 크루스칼 알고리즘

신장 트리

• 그래프에서 모든 노드를 포함하면서 사이클이 존재하지 않는 부분 그래프를 의미한다
  • 모든 노드가 포함되어 서로 연결되면서 사이클이 존재하지 않는다는 조건은 트리의 조건이기도 하다

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최소 신장 트리

• 최소한의 비용으로 구성되는 신장 트리를 찾아야 할 때 어떻게 해야 할까?
• 예를 들어 N개의 도시가 존재하는 상황에서 두 도시 사이에 도로를 놓아 전체 도시가 서로 연결될 수 있게
  도로를 설치하는 경우를 생각해 보자
  • 두 도시 A,B를 선택했을 때 A에서 B로 이동하는 경로가 반드시 존재하도록 도로를 설치한다

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크루스칼 알고리즘

• 대표적인 최소 신장 트리 알고리즘이다
• 그리디 알고리즘으로 분류된다
• 구체적인 동작 과정은 다음과 같다
  1. 간선 데이터를 비용에 따라 오름차순으로 정렬한다
  2. 간선을 하나씩 확인하며 현재의 간선이 사이클을 발생시키는지 확인한다
     1. 사이클이 발생하지 않는 경우 최소 신장 트리에 포함시킨다
     2. 사이클이 발생하는 경우 최소 신장 트리에 포함시키지 않는다
  3. 모든 간선에 대하여 2번의 과정을 반복한다

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크루스칼 알고리즘: 동작 과정 살펴보기

• [초기 단계] 그래프의 모든 간선 정보에 대하여 오름차순 정렬을 수행한다

• [Step 1] 아직 처리하지 않은 간선 중에서 가장 짧은 간선인 (3,4)를 선택하여 처리한다

• [Step 2] 아직 처리하지 않은 간선 중에서 가장 짧은 간선인 (4,7)을 선택하여 처리한다

• [Step 3] 아직 처리하지 않은 간선 중에서 가장 짧은 간선인 (4,6)을 선택하여 처리한다

• [Step 4] 아직 처리하지 않은 간선 중에서 가장 짧은 간선인 (6,7)을 선택하여 처리한다

• [Step 5] 아직 처리하지 않은 간선 중에서 가장 짧은 간선인 (1,2)를 선택하여 처리한다

• [Step 6] 아직 처리하지 않은 간선 중에서 가장 짧은 간선인 (2,6)을 선택하여 처리한다

• [Step 7] 아직 처리하지 않은 간선 중에서 가장 짧은 간선인 (2,3)을 선택하여 처리한다

• [Step 8] 아직 처리하지 않은 간선 중에서 가장 짧은 간선인 (5,6)을 선택하여 처리한다

• [Step 9] 아직 처리하지 않은 간선 중에서 가장 짧은 간선인 (1,5)를 선택하여 처리한다

• [알고리즘 수행 결과]
  • 최소 신장 트리에 포함되어 있는 간선의 비용만 모두 더하면, 그 값이 최종 비용에 해당한다

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크루스칼 알고리즘 (Python)

#특정 원소가 속한 집합 찾기
def find_parent(parent, x):
	#루트 노드가 아니라면, 루트 노드를 찾을 때까지 재귀적으로 호출
    if parent[x]!=x:
        parent[x] = find_parent(parent, parent[x])
    return parent[x]
    
    
#두 원소가 속한 집합을 합치기
def union_parent(parent, a, b):
    a=find_parent(parent, a)
    b=find_parent(parent, b)
    if a<b:
        parent[b]=a
    else:
        parent[a]=b
        
#노드의 개수, 간선의 개수 입력받기
v, e=map(int, input().split())
parent=[0]*(v+1) #부모테이블 초기화


#모든 간선을 담을 리스트와 최종 비용을 담을 변수
edges=[]
result=0

# 부모 테이블상에서, 부모를 자기자신으로 초기화
for i in range(1, v+1):
	parent[i] = i
    
#모든 간선에 대한 정보를 입력 받기
for _ in range(e):
    a,b,cost=map(int, input().split())
    #비용순으로 정렬하기 위해서 튜플의 첫 번째 원소를 비용으로 설정
    edges.append((cost,a,b))
    
#간선을 비용순으로 정렬
edges.sort()

#간선을 하나씩 확인하며
for edge in edges:
    cost, a, b=edge
    #사이클이 발생하지 않는 경우에만 집합에 포함
    if find_parent(parent,a) != find_parent(parent,b):
        union_parent(parent, a,b)
        result+=cost
print(result)

크루스칼 알고리즘 성능 분석

• 크루스칼 알고리즘은 간선의 개수가 E개일 때, O(ElogE) 의 시간 복잡도를 가진다
• 크루스칼 알고리즘에서 가장 많은 시간을 요구하는 곳은 간선의 정렬을 수행하는 부분이다
  • 표준 라이브러리를 이용해 𝐸개의 데이터를 정렬하기 위한 시간 복잡도는 O(ElogE) 이다

위상 정렬

• 사이클이 없는 방향 그래프의 모든 노드를 방향성에 거스르지 않도록 순서대로 나열하는 것을 의미
• 예시) 선수과목을 고려한 학습 순서 설정

• 위 세 과목을 모두 듣기 위한 적절한 학습 순서는?
  • 자료구조 → 알고리즘 → 고급 알고리즘 (O)
  • 자료구조 → 고급 알고리즘 → 알고리즘 (X)

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진입차수와 진출차수

• 진입차수(Indegree): 특정한 노드로 들어오는 간선의 개수
• 진출차수(Outdegree): 특정한 노드에서 나가는 간선의 개수

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위상 정렬 알고리즘

• 큐를 이용하는 위상 정렬 알고리즘의 동작 과정은 다음과 같다
  1. 진입차수가 0인 모든 노드를 큐에 넣는다
  2. 큐가 빌 때까지 다음의 과정을 반복한다
     1. 큐에서 원소를 꺼내 해당 노드에서 나가는 간선을 그래프에서 제거한다
     2. 새롭게 진입차수가 0이 된 노드를 큐에 넣는다

=> 결과 적으로 각 노드가 큐에 들어온 순서가 위상 정렬을 수행한 결과와 같다

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위상 정렬 동작 예시

• 위상 정렬을 수행할 그래프를 준비한다
  • 이때 그래프는 사이클이 없는 방향 그래프 (DAG)여야 한다

• [초기 단계] 초기 단계에서는 진입차수가 0인 모든 노드를 큐에 넣는다
  • 처음에 노드 1이 큐에 삽입된다

• [Step 1] 큐에서 노드 1을 꺼낸 뒤에 노드 1에서 나가는 간선을 제거한다
  • 새롭게 진입차수가 0이 된 노드들을 큐에 삽입한다

• [Step 2] 큐에서 노드 2를 꺼낸 뒤에 노드 2에서 나가는 간선을 제거한다
  • 새롭게 진입차수가 0이 된 노드들을 큐에 삽입한다

• [Step 3] 큐에서 노드 5를 꺼낸 뒤에 노드 5에서 나가는 간선을 제거한다
  • 새롭게 진입차수가 0이 된 노드들을 큐에 삽입한다

• [Step 4] 큐에서 노드 3를 꺼낸 뒤에 노드 3에서 나가는 간선을 제거한다
  • 새롭게 진입차수가 0이 된 노드들을 큐에 삽입한다

• [Step 5] 큐에서 노드 6을 꺼낸 뒤에 노드 6에서 나가는 간선을 제거한다
  • 새롭게 진입차수가 0이 된 노드들을 큐에 삽입한다

• [Step 6] 큐에서 노드 4를 꺼낸 뒤에 노드 4에서 나가는 간선을 제거한다
  • 새롭게 진입차수가 0이 된 노드들을 큐에 삽입한다

• [Step 7] 큐에서 노드 7을 꺼낸 뒤에 노드 7에서 나가는 간선을 제거한다
  • 새롭게 진입차수가 0이 된 노드들을 큐에 삽입한다

• [위상 정렬 결과]
  • 큐에 삽입된 전체 노드 순서: 1 → 2 → 5 → 3 → 6 → 4 → 7

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위상 정렬의 특징

• 위상 정렬은 DAG에 대해서만 수행할 수 있다
  • DAG (Direct Acyclic Graph): 순환하지 않는 방향 그래프
• 위상 정렬에서는 여러 가지 답이 존재할 수 있다
  • 한 단계에서 큐에 새롭게 들어가는 원소가 2개 이상인 경우가 있다면 여러 가지 답이 존재한다
• 모든 원소를 방문하기 전에 큐가 빈다면 사이클이 존재한다고 판단할 수 있다
  • 사이클에 포함된 원소 중에서 어떠한 원소도 큐에 들어가지 못한다
• 스택을 활용한 DFS를 이용해 위상 정렬을 수행할 수도 있다

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위상 정렬 알고리즘 (Python)

import collections import deque

#노드의 개수와 간선의 개수를 입력받기
v, e = map(int, input().split())
#모든 노드에 대한 진입차수는 0으로 초기화
indegree = [0]*(v+1)
#각 노드에 연결된 간선 정보를 담기 위한 연결 리스트 초기화
graph = [[] for i in range(v+1)]

#방향그래프의 모든 간선 정보를 입력받기
for _ in range(e):
	a,b = map(int, input().split())
    graph[a].append(b) #정넘 a에서 b로 이동가능
    #진입차수를 1 증가
    indegree[b]+=1
    
#위상 정렬 함수
def topology_sort():
	result = [] #알고리즘 수행 결과를 담을 리스트
    q=deque() #큐 기능을 위한 deque 라이브러리 사용
    
    #처음 시작할 때는 진입차수가 0인 노드를 큐에 삽입 
    for i in range(1, v+1):
    	if indegree[i] == 0:
        	q.append(i)
            
            
    #큐가 빌 때까지 반복
    while q:
    	#큐에서 원소 꺼내기
        now = q.popleft()
        result.append(now)
        #해당 원소와 연결된 노드들의 진입차수에서 1빼기
        for i in graph[now]:
        	indegree[i] -=1
            #새롭게 진입차수가 0이 되는 노드를 큐에 삽입
            if indegree[i] == 0:
            	q.append(i)
                
     #위상 정렬을 수행한 결과 출력
     for i in result:
     	print(i, end = " ")
topology_sort()

입력 예시

7 8
1 2
1 5
2 3
2 6
3 4
4 7
5 6
6 4

출력 예시

1 2 5 3 6 4 7

위상 정렬 알고리즘 성능 분석

• 위상 정렬을 위해 차례대로 모든 노드를 확인하며 각 노드에서 나가는 간선을 차레대로 제거해야 한다
  • 위상 정렬 알고리즘의 시간 복잡도는 O(V + E) 이다