[이코테]9장_다익스트라 알고리즘, 플로이드 워셜 알고리즘

다익스트라 최단 경로 알고리즘

다익스트라 최단 경로 알고리즘

최단 경로 문제

• 최단 경로 알고리즘은 가장 짧은 경로를 찾는 알고리즘을 의미함
• 다양한 문제 상황
  • 한 지점에서 다른 한 지점까지의 최단 경로
  • 한 지점에서 다른 모든 지점까지의 최단 경로
  • 모든 지점에서 다른 모든 지점까지의 최단 경로
• 각 지점은 그래프에서 노드로 표현
• 지점 간 연결된 도로는 그래프에서 간선으로 표현

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다익스트라 최단 경로 알고리즘 개요

• 특정한 노드에서 출발하여 "다른 모든 노드"로 가는 최단 경로를 계산한다
• 다익스트라 최단 경로 알고리즘은 음의 간선이 없을 때 정상적으로 동작한다
  • 현실 세계의 도로(간선)은 음의 간선으로 표현되지 않습니다
• 다익스트라 최단 경로 알고리즘은 그리디 알고리즘으로 분류된다
  • 매 상황에서 가장 비용이 적은 노드를 선택해 임의의 과정을 반복한다

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다익스트라 최단 경로 알고리즘

• 알고리즘의 동작 과정은 다음과 같다
  1. 출발 노드를 설정한다
  2. 최단 거리 테이블을 초기화한다
  3. 방문하지 않은 노드 중에서 최단 거리가 가장 짧은 노드를 선택한다
  4. 해당 노드를 거쳐 다른 노드로 가는 비용을 계산하여 최단 거리 테이블을 갱신한다
  5. 위 과정에서 3번과 4번을 반복한다
• 알고리즘 동작 과정에서 최단 거리 테이블은 각 노드에 대한 현재까지의 최단 거리 정보를 가지고 있다
• 처리 과정에서 더 짧은 경로를 찾으면 '이제부터는 이 경로가 제일 짧은 경로야'라고 갱신한다

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다익스트라 최단 경로 알고리즘: 동작 과정 살펴보기

• [초기 상태] 그래프를 준비하고 출발 노드를 설정한다

• [Step 1] 방문하지 않은 노드 중에서 최단 거리가 가장 짧은 노드인 1번 노드를 처리한다

• [Step 2] 방문하지 않은 노드 중에서 최단 거리가 가장 짧은 노드인 4번 노드를 처리한다.

• [Step 3] 방문하지 않은 노드 중에서 최단 거리가 가장 짧은 노드인 2번 노드를 처리한다

• [Step 4] 방문하지 않은 노드 중에서 최단 거리가 가장 짧은 노드인 5번 노드를 처리한다

• [Step 5] 방문하지 않은 노드 중에서 최단 거리가 가장 짧은 노드인 3번 노드를 처리한다

• [Step 6] 방문하지 않은 노드 중에서 최단 거리가 가장 짧은 노드인 6번 노드를 처리한다
  

  

 

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다익스트라 알고리즘의 특징

• 그리디 알고리즘: 매 상황에서 방문하지 않은 가장 비용이 적은 노드를 선택해 임의의 과정을 반복한다
• 단계를 거치며 한 번 처리된 노드의 최단 거리는 고정되어 더 이상 바뀌지 않는다
  • 한 단계당 하나의 노드에 대한 최단 거리를 확실히 찾는 것으로 이해할 수 있다
• 다익스트라 알고리즘을 수행한 뒤에 테이블에 각 노드까지의 최단 거리 정보가 저장된다
  • 완벽한 형태의 최단 경로를 구하려면 소스코드에 추가적인 기능을 더 넣어야 한다

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다익스트라 알고리즘: 간단한 구현 방법

• 단계마다 방문하지 않은 노드 중에서 최단 거리가 가장 짧은 노드를 선택하기 위해 매 단계마다 1차원 테이블의
  모든 원소를 확인(순차 탐색)한다

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다익스트라 알고리즘: 간단한 구현 방법 (Python)

방법1> 간단한 다익스트라 알고리즘 소스코드/

시간복잡도: O(V²) 

노드의 개수가 5000개 이하라면 사용

 

import sys
input=sys.stdin.readline
INF=int(1e9)

#노드 개수, 간선의 개수 입력받음
n,m=map(int, input().split())
#시작 노드 번호
start=int(input())
#각 노드에 연결되어 있는 노드에 대한 정보를 담는 리스트를 만들기
graph=[[] for i in range(n+1)]
#방문한 적이 있는지 체크하는 리스트
visited=[False]*(n+1)
#최단거리 테이블을 모두 무한으로 초기화
distance=[INF]*(n+1)

#모든 간선 정보 입력받기
for _ in range(m):
    #a번 노드에서 b번 노드로 가는 비용이 c
    a,b,c=map(int, input().split())
    graph[a].append((b,c))

#방문하지 않은 노드 중에서 가장 최단 거리가 짧은 노드의 반환
def get_smallest_node():
    min_value=INF
    index=0 #가장 최단거리가 짧은 노드(인덱스)
    for i in range(1, n+1):
        if distance[i] < min_value and not visited[i]:
            min_value=distance[i]
            index=i
    return index
    
def dijkstra(start):
    #시작 노드에 대해서 초기화
    distance[start]=0
    visited[start]=True
    for j in graph[start]:
        distance[j[0]]=j[1]
    # 시작 노드를 제외한 전체 n-1개의 노드에 대해 반복
    for i in range(n-1):
    	#현재 최단거리가 가장 짧은 노드를 꺼내서, 방문 처리
        now=get_smallest_node()
        visited[now]=True
        #현재 노드와 연결된 다른 노드를 확인
        for j in graph[now]:
            cost=distance[now]+j[1]
            #현재 노드를 거쳐서 다른 노드로 이동하는 거리가 더 짧은 경우
            if cost<distance[j[0]]:                
                distance[j[0]]=cost
dijkstra(start)
#모든 노드로 가기 위한 최단거리 출력
for i in range(1, n+1):
    if distance[i]==INF:
        print("INFINITY")
    else:
        print(distance[i])

다익스트라 알고리즘: 간단한 구현 방법 성능 분석

• 총 O(V) 번에 걸쳐서 최단 거리가 가장 짧은 노드를 매번 선형 탐색해야 한다
• 따라서 전체 시간 복잡도는 O(V²) 이다
• 일반적으로 코딩 테스트의 최단 경로 문제에서 전체 노드의 개수가 5,000개 이하라면 이 코드로 문제를
  해결할 수 있다
  • 하지만 노드의 개수가 10,000개를 넘어가는 문제라면 어떻게 해야 할까?

 

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우선순위 큐(Priority Queue)

• 우선순위가 가장 높은 데이터를 가장 먼저 삭제하는 자료구조이다
• 예를 들어 여러 개의 물건 데이터를 자료구조에 넣었다가 높은 물건 데이터부터 꺼내서 확인해야하는
  경우에 우선순위 큐를 이용할 수 있다
• Python, C++, Java를 포함한 대부분의 프로그래밍 언어에서 표준 라이브러리 형태로 지원한다

자료구조추출되는 데이터

스택(Stack)	가장 나중에 삽입된 데이터
큐(Queue)	가장 먼저 삽입된 데이터
우선순위 큐(Priority Queue)	가장 우선순위가 높은 데이터

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힙(Heap)

• 우선순위 큐(Priority Queue)를 구현하기 위해 사용하는 자료구조 중 하나이다
• 최소 힙(Min Heap) 과 최대 힙(Max Heap) 이 있다
• 다익스트라 최단 경로 알고리즘을 포함해 다양한 알고리즘에서 사용된다

우선순위 큐 구현 방식삽입 시간삭제 시간

리스트	O(1)	O(N)
힙(Heap)	O(logN)	O(logN)

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힙 라이브러리 사용 예제: 최소 힙

import heapq
#오름차순 힙 정렬
def heapsort(iterable):
	h =[]
    result = []
    for value in iterable:
    	heapq.heappush(h, value)
    #힙에 삽입된 모든 원소를 차례대로 꺼내어 담기
    for i in range(len(h)):
    	result.append(heapq.heappop(h))
    return result
result = heapsort([1,3,5,7,9,2,4,6,8,0])
print(result)

실행 결과

[0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9]

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힙 라이브러리 사용 예제: 최대 힙

import heapq
#오름차순 힙 정렬4
def heapsort(iterable): 
	h =[]
    result =[]
    #원소를 차례대로 힙에 삽입
    for value in iterable:
    	heapq.heappush(h, -value) #-value를 추가함으로써 실제로 최대 힙(max heap)처럼 동작하게 만듦.
    #힙에 삽입된 모든 원소를 차례대로 꺼내어 담기
    for i in range(len(h)):
    	result.append(-heapq.heappop(h)) #h에서 가장 작은 값을 제거하고, 그 값을 -로 다시 변환하여 result 리스트에 추가하는 작업입니다. 이렇게 하면 result 리스트는 최대 힙에서 가장 큰 값을 순서대로 담게 됩니다.
    return result
result = heapsort([1,3,5,7,9,2,4,6,8,0])
print(result)

 

1. 최대 힙 (Max Heap):
   • 최대 힙은 완전 이진 트리(complete binary tree) 구조를 가지며, 루트 노드로 올라갈수록 저장된 값이 커지는 구조입니다.
   • 우선순위는 값이 큰 순서대로 매겨집니다.
   • 최대 힙에서는 루트 노드가 최댓값이 됩니다.
2. 최소 힙 (Min Heap):
   • 최소 힙도 완전 이진 트리 구조를 가지며, 루트 노드로 올라갈수록 값이 작아지는 구조입니다.
   • 우선순위는 값이 작은 순서대로 매겨집니다.
   • 최소 힙에서는 루트 노드가 최솟값이 됩니다.

힙은 주로 우선순위 큐(priority queue)를 구현하는데 사용되며, 데이터를 효율적으로 추가하고 제거할 수 있도록 도와줍니다. 최대 힙과 최소 힙은 다양한 알고리즘과 문제 해결에 활용됩니다12345

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다익스트라 알고리즘: 개선된 구현 방법

• 단계마다 방문하지 않은 노드 중에서 최단 거리가 가장 짧은 노드를 선택하기 위해 힙(Heap) 자료구조를 이용한다
• 다익스트라 알고리즘이 동작하는 기본 원리는 동일하다
  • 현재 가장 가까운 노드를 저장해 놓기 위해서 힙 자료구조를 추가적으로 이용한다는 점이 다르다
  • 현재의 최단 거리가 가장 짧은 노드를 선택해야 하므로 최소 힙을 사용한다

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다익스트라 알고리즘: 동장 과정 살펴보기 (우선순위 큐)

• [초기 상태] 그래프를 준비하고 출발 노드를 설정하여 우선순위 큐에 삽입한다

• [Step 1] 우선순위 큐에서 원소를 꺼낸다 1번 노드는 아직 방문하지 않았으므로 이를 처리한다

• [Step 2] 우선순위 큐에서 원소를 꺼낸다 4번 노드는 아직 방문하지 않았으므로 이를 처리한다

• [Step 3] 우선순위 큐에서 원소를 꺼낸다 2번 노드는 아직 방문하지 않았으므로 이를 처리한다

• [Step 4] 우선순위 큐에서 원소를 꺼낸다 5번 노드는 아직 방문하지 않았으므로 이를 처리한다

• [Step 5] 우선순위 큐에서 원소를 꺼낸다 3번 노드는 아직 방문하지 않았으므로 이를 처리한다

• [Step 6] 우선순위 큐에서 원소를 꺼낸다 3번 노드는 이미 방문했으므로 무시한다

• [Step 7] 우선순위 큐에서 원소를 꺼낸다 6번 노드는 아직 방문하지 않았으므로 이를 처리한다

• [Step 8] 우선순위 큐에서 원소를 꺼낸다 3번 노드는 이미 방문했으므로 무시한다

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다익스트라 알고리즘: 개선된 구현 방법 (Python)

• 시간 복잡도O(ElogV)(E: 간선의 개수, V: 노드 개수)-> 힙 자료구조 이용
• 노드의 개수가 10000개를 넘어갈 때 사용

import heapq
import sys
input=sys.stdin.readline
INF=int(1e9)#무한을 의미하는 값으로 10억을 설정

#노드의 개수, 간선의 개수 입력받기
n,m=map(int, input().split())
#시작 노드번호를 입력받기
start=int(input())
#각 노드에 연결되어 있는 노드에 대한 정보를 담는 리스트를 만들기
graph=[[] for i in range(n+1)]
#최단거리 테이블을 모두 무한으로 초기화
distance=[INF]*(n+1)


#모든 간선 정보를 입력받기
for _ in range(m):
    a,b,c=map(int, input().split())
    #a번 노드에서 b번 노드로 가는 비용이 c라는 의미
    graph[a].append((b,c))

def dijkstra(start):
    q=[]
    #시작 노드로 가기 위한 최단 경로는 0으로 설정하여 큐에 삽입
    #(거리,노드)
    heapq.heappush(q,(0,start))
    distance[start]=0
    while q: #큐가 비어있지 않다면
        #가장 최단 거리가 짧은 노드에 대한 정보 꺼내기
        dist, now=heapq.heappop(q)
        #현재 노드가 이미 처리된 적이 있는 노드라면 무시
        if distance[now]< dist:
            continue
        #현재 노드와 연결된 인접한 노드들을 확인
        for i in graph[now]:
            cost=dist+i[1]
            if cost <distance[i[0]]:
                distance[i[0]]=cost
                #(거리,노드)
                heapq.heappush(q,(cost,i[0]))

#다익스트라 알고리즘을 수행
dijkstra(start)
#모든 노드로 가기 위한 최단 거리를 출력
for i in range(1, n+1):
    if distance[i]==INF:
        print("infinity")
    else:
        print(distance[i])

플로이드 워셜 알고리즘

• 모든 지점에서 다른 모든 지점까지의 최단 경로를 모두 구해야 하는 경우
• 다익스트라 알고리즘: 한 지점에서 다른 특정 지점까지의 최단 경로를 구해야 하는 경
• 시간 복잡도 : O(N³) 
• 최단 거리 정보를 저장: 모든 노드에 대하여 다른 모든 노드로 가는 최단 거리 정보를 담은 다이나믹 프로그래밍이다.
• 각 단계에서는 해당 노드를 거쳐 가는 경우를 고려한다. ex> 1번 노드를 확인할 때에슨 A->1번노드->B 
• 알고리즘에서는 현재 확인하고 있는 노드를 제외하고, N-1개의 노드 중에서 서로 다른 노드 (A,B)쌍을 선택한다. 이후에 A->1번노드->B로 가는 비용을 확인한 후 최단거리를 갱신한다.
• 플로이드 워셜은 2차원 테이블에 최단 거리 정보를 저장한다
• 플로이드 워셜 알고리즘은 다이나믹 프로그래밍 유형에 속한다
• 각 단계마다 특정한 노드 𝑘를 거쳐 가는 경우를 확인한다
  • 𝑎에서 𝑏로 가는 최단 거리보다 𝑎에서 𝑘를 거쳐 𝑏로 가는 거리가 더 짧은지 검사한다
• 점화식: A에서 B로 가는 최소비용과 A에서 K를 거쳐 B로 가는 비용을 비교하여 더 작은 값으로 갱신
•  

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플로이드 워셜 알고리즘: 동작 과정 살펴보기

• [초기 상태] 그래프를 준비하고 최단 거리 테이블을 초기화한다

• [Step 1] 1번 노드를 거쳐 가는 경우를 고려하여 테이블을 갱신한다

• [Step 2] 2번 노드를 거쳐 가는 경우를 고려하여 테이블을 갱신한다

• [Step 3] 3번 노드를 거쳐 가는 경우를 고려하여 테이블을 갱신한다

• [Step 4] 4번 노드를 거쳐 가는 경우를 고려하여 테이블을 갱신한다

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플로이드 워셜 알고리즘 (Python)

INF=int(1e9) #무한을 의미하는 값으로 10억을 설정

#노드의개수 및 간선의 개수를 입력받기
n=int(input()) #노드의 개수
m=int(input()) # 간선의 개수
#2차원 리스트(그래프 표현)을 만들고, 모든 값을 무한으로 초기화
graph=[[INF]*(n+1) for _ in range(n+1)]


# 자기 자신에서 자기 자신으로 가는 비용은 0으로 초기화
for a in range(1,n+1):
    for b in range(1, n+1):
        if a==b:
            graph[a][b]=0
            
            
# 각 간선에 대한 정보를 입력받아, 그 값으로 초기화
for _ in range(m):
	#A에서 B로 가는 비용이 C
	a,b,c = map(int, input().split())
    graph[a][b] = c
    
    
#점화식에 따라 플로이드 워셜 알고리즘을 수향
for k in range(1,n+1):
    for a in range(1,n+1):
        for b in range(1, n+1):
            graph[a][b]=min(graph[a][b], graph[a][k]+graph[k][b])
            
            
#수행된 결과를 출력
for a in range(1, n+1):
    for b in range(1, n+1):
    #도달할 수 없는 경우, 무한을 출력
        if graph[a][b]==INF:
            print("INFINITY", end=" ")
        else:
            print(graph[a][b], end=" ")
    print()

TIP> 그림을 그리기!

 

플로이드 워셜 알고리즘 성능 분석

• 노드의 개수가 𝑁개일 때 알고리즘상으로 𝑁번의 단계를 수행한다
  • 각 단계마다 O(N²) 의 연산을 통해 현재 노드를 거쳐 가는 모든 경로를 고려한다
• 따라서 플로이드 워셜 알고리즘의 총 시간 복잡도는 O(N³) 이다